Question

对于一切实数，当a，b，c（a≠0，a＜b）变化时，所有二次函数f（x）=ax²+bx+c的函数值恒为非负实数，则

a+b+c

b-a

的最小值是（　　）

• A．2
• B．3
• C．

  1

  2

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：由于二次函数的值恒为非负数，推出a＞0，故 b＞a＞0，再由△≤0得到c≥

b2

4a

，化简所求表达式，通过二次函数对应的根的范围，结合韦达定理，求出a的范围即可．

解答：解：由于二次函数的值恒为非负数，可得a＞0，故 b＞a＞0，再由△≤0得到c≥

b2

4a

．
则

a+b+c

b-a

≥

a+b+  b2 4a

b-a

=

1+ b a + 1 4 •( b a ) 2

b a -1

．
令y=

1+ b a + 1 4 •( b a ) 2

b a -1

，则有

1

4

•(

b

a

) 2+（1-y）

b

a

+1+y=0 ①．
∵△≥0，解得 y≥3，或 y≤0．
再由 b＞a＞0可得

b

a

＞1，故方程①的两根之和4（y-1）＞2，
∴y＞

3

2

，故舍去y≤0，取y≥3．
即y的最小值为3，
故选B．

点评：本题主要考查二次函数判别式的应用，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题．