Question

函数f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-2(x∈R)的单调减区间是

[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z

．

Answer 1

分析：把函数解析式的第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，再利用诱导公式变形，去括号合并后，提取4，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调减区间为[2kπ-+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调减区间．

解答：解：f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-2
=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-2
=4（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=4sin（2x-

π

3

），
当2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

时，
正弦函数sin（2x-

π

3

）单调递减，
则函数f（x）的单调减区间是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
故答案为：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．