Question

已知函数f(x)=4sin2(x+

π

4

)+4

3

cos2x-(1+2

3

)，x∈R．
（I）求函数f（x）图象的对称中心和单调递增区间；
（II）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a，b，c依次成等比数列，求f（B）的最值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=4sin(2x+

π

3

)+1，由此求得它的对称中心和单调增区间．
（2））△ABC中，由等比数列的定义、余弦定理以及基本不等式求得cosB≥

1

2

，从而得到B的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（B）的最值．

解答：解：（1）f(x)=2[1-cos(2x+

π

2

)]+2

3

cos2x-1=2sin2x+2

3

cos2x+1=4sin(2x+

π

3

)+1，…（2分）．
令2x+

π

3

=kπ，k∈z，解得 x=

kπ

2

-

π

6

，k∈z，
故函数f（x）图象的对称中心为(

kπ

2

-

π

6

，1)，k∈Z…（4分）．
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z…（6分）．
（2））△ABC中，∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
由余弦定理可得 cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

 ≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

…（8分）．
由于f（B）=4sin（2B+

π

3

）+1，

π

3

＜2B+

π

3

≤π，
当且仅当2B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

12

时，f（B）_max=5，…（10分）．
当且仅当2B+

π

3

=π，即B=

π

3

时，f（B）_min=1…（12分）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、单调性、定义域和值域，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于中档题．