Question

己知函数f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1，且给定条件P：x＜

π

4

或x＞

π

2

，
（1）求￢P的条件下，求f（x）的最值；
（2）若条件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件P：x＜

π

4

或x＞

π

2

，可得^?P：

π

4

≤x≤

π

2

，将f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1化为：f（x）=4sin（2x-

π

3

）+1，

π

4

≤x≤

π

2

，从而可求得f（x）的最值；
（2）由：-2＜f（x）-m＜2，可得：m-2＜f（x）＜2+m，?p是q的充分条件，则

m-2≤3 m+2≥5

，从而可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-1
=4×

1-cos( π 2 +2x)

2

-2

3

cos2x-1
=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4sin（2x-

π

3

）+1；
∵条件P：x＜

π

4

或x＞

π

2

，
∴^?P：

π

4

≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

1

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴3≤4sin（2x-

π

3

）+1≤5．
∴f（x）的最大值为为5，f（x）的最小值为3；
（2）∵条件q：-2＜f（x）-m＜2，
∴m-2＜f（x）＜2+m，
又，?p是q的充分条件，而?p条件下，3≤f（x）=4sin（2x-

π

3

）+1≤5，
∴[3，5]⊆（m-2，m+2），
∴

m-2＜3 m+2＞5

解得：3＜m＜5．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查三角函数的化简求值与必要条件、充分条件与充要条件的判断，难点在于（2）的理解与应用，属于难题．