Question

若关于x的方程sin²x+asinx+4=0在区间[0，π]有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为（　　）

• A、a＜-4或a＞4
• B、-5≤a≤-4
• C、a＜-5
• D、a≤-4

Answer 1

分析：利用换元法设t=sinx，则t∈[0，1]，将方程转化为f（t）=t²+at+4=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，然后利用二次函数的图象和性质进行讨论即可得到结论．

解答：解：∵x∈[0，π]，故 sinx∈[0，1]，设t=sinx，则t∈[0，1]，
则方程sin²x+asinx+4=0等价为t²+at+4=0．
由于（0，1）内的一个t值对应了（0，π）内的2个x值，
则由题意可得，关于t的方程f（t）=t²+at+4=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若t=0，则4=0不成立，∴此时无解．
②若对称轴t=-

a

2

＜0．此时f（t）=t²+at+4在（0，1）上单调递增，此时方程f（t）=t²+at+4=0在（0，1）无解．
③若对称轴t=-

a

2

＞0，即a＜0时，此时要使方程f（t）=t²+at+4=0在（0，1）有唯一解，则满足f（1）＜0，
即1+4+a=5+a＜0，解得 a＜-5．
④若△=0，则满足

△=a2-16=0 0＜- a 2 ＜1

，即

a=4或a=-4 -2＜a＜0

，此时a无解，
综上，可得实数a的取值范围是a＜-5．
故选：C．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．利用换元法将条件转化为二次函数是解决本题的关键，注意要分类讨论．