Question

已知向量=（1，1），=（1，0），＜，＞= 且=-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
（1）若关于x的方程sin（2x+ ）= 在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
（2）若向量=（cosA，2cos² ），试求||的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵2B=A+C 且A+B+C=π，∴B=． 令y=sin（2x+ ），x∈[0，]，则 2x+∈[，π]，∴．
∵关于x的方程sin（2x+ ）= 在[0，]上有相异实根，所以y=sin（2x+ ） ），即∈
所以．
（2）令=（x，y），∵=（1，1），=-1，所以x+y=-1．
又=（1，0），＜，＞=，所以=0，即x=0，故y=-1，
所以=（0，-1），=（cosA，2cos² ）=（cosA，1+cosC）．
所以||²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（ A）=1+cos（2A+ ）．
由A∈（0，，得2A+∈（，π]，得cos（2A+ ）∈[-1， ），
∴||²∈[， ），故||∈[ ）．
分析：（1）由条件求得B=，令y=sin（2x+ ），由 x∈[0，]求得y的值域，再由关于x的方程sin（2x+ ）= 在[0，]上有相异实根，所以y=sin（2x+ ） ），
由此求得∈，从而求得实数m的取值范围．
（2）令=（x，y），由条件=-1可得x+y=-1．再由=（1，0），＜，＞=，求得以 和的坐标，可得||²=1+cos（2A+ ），再由A的范围求出||的范围．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，求向量的模，属于中档题．