Question

已知函数f（x）=

x

ax+b

（a，b为常数，且a≠0），满足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一实数解，
（1）求函数f（x）的解析式
（2）判断f（x）在（1，3）上的单调性，并证明．
（3）若f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件求出a，b的值即可求函数f（x）的解析式
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在（1，3）上的单调性．
（3）根据f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，进行转化即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

ax+b

且f（2）=1，
∴2=2a+b．
又∵方程f（x）=x有唯一实数解．
∴ax²+（b-1）x=0（a≠0）有唯一实数解．
故（b-1）²-4a×0=0，即b=1，又上式2a+b=2，可得：a=

1

2

，
从而f（x）=

x

1 2 x+1

=

2x

x+2

，
（2）f（x）在（1，3）上单调递增，下面进行证明：
设任意1＜x₁＜x₂＜3
则f(x1)-f(x2)=

2x1

x1+2

-

2x2

x2+2

=

2x1x2+4x1-2x1x2-4x2

(x1+2)(x2+2)

=

4(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，
∵1＜x₁＜x₂＜3，
∴x₁-x₂＜0，（x₁+2）＞0，（x₂+2）＞0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，3）上单调递增．
（3）由题（2）f（1）＜f（x）＜f（3）
又f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，
∴3a-1≤f(1)=

2

3

解得a≤

5

9

．

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的证明，综合考查函数的性质．