Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于一切n∈N⁺，

Sn

S2n

=t（t为非零常数），则称数列{a_n}为“和谐数列”，t为“和谐比”．
（Ⅰ）设数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，证明：数列{b_n}为“和谐数列”，并求出“和谐比”；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c_n=b_n2bn，n∈N₊，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：设数列{b_n}的前n项和为B_n，
∵数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴B_n=n×1+

n(n-1)

2

×2=n²，B2n=4n2．
∴t=

Bn

B2n

=

n2

4n2

=

1

4

．
（2）解：由已知条件易求b_n=2n-1，
∴cn=bn.2bn=(2n-1)•22n-1
∴T_n=1×2¹+3×2³+…+（2n-1）•2^2n-1，
∴4T_n=2³+3×2⁵+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
两式相减可得：-3T_n=2+2×2³+2×2⁵+…+2×2^2n-1-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=

4(4n-1)

4-1

-2-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹
=

2

3

•22n+1-

10

3

-(2n-1)•22n+1
=(

5

3

-2n)•22n+1-

10

3

．
∴T_n=

6n-5

9

•22n+1+

10

9

．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．