Question

二项式（1+px）ⁿ（p为大于零的常数）的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，按x的升幂排列的前三项的系数之和是201．
（1）求常数n和p；
（2）求二项式（px-

1

x

）ⁿ展开式中含x⁴的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）由二项式系数相等，解得n=10，写出通项公式，化简整理，求出前三项系数，列出方程，即可得到p=2；
（2）求出通项公式，化简整理，再令x的指数为4，求出r，计算即可得到所求的项．

解答： 解：（1）展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，
即有

C

3 n

=C

7 n

，则n=10，
则二项式的通项公式为T_r+1=

C

r 10

(px)r，
由于按x的升幂排列的前三项的系数之和是201，
则有

C

0 10

+C

1 10

p

+C

2 10

p2=201，
即9p²+2p-40=0，解得，p=2（-

20

9

舍去），
则n=10，p=2；
（2）二项式（px-

1

x

）ⁿ展开式即为（2x-

1

x

）¹⁰
的通项公式为T_r+1=

C

r 10

(2x)10-r(-

1

x

)r=

C

r 10

210-r(-1)rx10-

3

2

r
令10-

3

2

r=4，解得，r=4，
则展开式中含x⁴的项为：

C

4 10

26(-1)4x4=13440x⁴．

点评：本题考查二项式系数的性质和二项式定理的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．