Question

11．已知数列{a_n}满足2a_n-a_n+1=b_n，b_n=3n-2，n∈N^*．
（1）若{a_n}为等差数列，求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2a_n-a_n+1=3n-2，根据{a_n}为等差数列，可设a_n=an+b，（a，b为常数）．代入解出即可．
（2）$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足2a_n-a_n+1=b_n，b_n=3n-2，n∈N^*．
∴2a_n-a_n+1=3n-2，
∵{a_n}为等差数列，可设a_n=an+b，（a，b为常数）．
∴2（an+b）-[a（n+1）+b]=3n-2，
化为an+（b-a）=3n-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b-a=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴a_n=3n+1．
（2）$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，
∴数列{$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$}的前n项和S_n=$1×\frac{1}{2}$+4×$\frac{1}{{2}^{2}}$+$7×\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（3n-2）×\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$1×\frac{1}{{2}^{2}}$+4×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$（3n-5）×\frac{1}{{2}^{n}}$+$（3n-2）×\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+3×\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$3×\frac{1}{{2}^{n}}$-（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=$3×\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-1-（3n-2）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$=2-$\frac{3n+4}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=4-$\frac{3n+4}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．