Question

1．设a＞0，解关于x的不等式0＜$\frac{ax}{x-1}$＜2．

Answer 1

分析 先由$\frac{ax}{x-1}$＞0可得x＞1或x＜0；$\frac{ax}{x-1}$＜2，可得$\frac{（a-2）x+2}{x-1}$＜0，即[（a-2）x+2][x-1]＜0．分（1）当a=2时、（2）当a＞2时、（3）当0＜a＜2时三种情况，分别求得不等式的解集，综合可得结论．

解答 解：由a＞0，$\frac{ax}{x-1}$＞0可得x＞1或x＜0；
∵$\frac{ax}{x-1}$＜2，∴$\frac{（a-2）x+2}{x-1}$＜0，
即[（a-2）x+2][x-1]＜0．
讨论：（1）当a=2时，解得x＜1．
（2）当a＞2时，解得-$\frac{2}{a-2}$＜x＜1．
（3）当0＜a＜2时，x＞$\frac{2}{2-a}$，或x＜1．
综上可得，当a=2时，解集为{x|x＜0}；
当a＞2时，解集为{x|-$\frac{2}{a-2}$＜x＜0}；
当0＜a＜2时，解集为{x|x＞$\frac{2}{2-a}$或x＜0}．

点评 本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．