【题目】设函数.
(1)关于的不等式对一切恒成立,求实数的取值范围;
(2)解关于的不等式;
(3)函数在区间上有零点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3).
【解析】
(1)对一切恒成立,即,恒成立,所以,解得即可;
(2)对判别式讨论大于0,等于0,小于0,再由二次不等式的解法,即可得到;
(3)要使函数在有零点,只需考虑的符号和对称轴的位置及端点的函数值的符号以及零点存在定理和运用,列出不等式组,解出即可得到范围.
(1)由题意得,对一切恒成立,
即,恒成立,
所以,即,
解得,,
所以实数的取值范围;
(2)由,得,,
即,
其中,
当即时,不等式无实数解;
当,即或时,
设,,
则,
综上所述,当时,不等式无解;
当或时,不等式的解集为;
(3)要使函数在区间上上有零点,
须或,或,
即或,
解得,或,
综上所述,实数的取值范围.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】有一个同学家开了一个奶茶店,他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响,从一季度中随机选取5天,统计出气温与热奶茶销售杯数,如表:
气温 | 0 | 4 | 12 | 19 | 27 |
热奶茶销售杯数 | 150 | 132 | 130 | 104 | 94 |
(Ⅰ)求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程(精确到0.1),若某天的气温为,预测这天热奶茶的销售杯数;
(Ⅱ)从表中的5天中任取两天,求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率.
参考数据:,.
参考公式:,.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车,调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间,将统计结果分成5组:,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值及续驶里程在的车辆数;
(2)若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程在内的概率.
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【题目】如图,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.
(1)求证:;
(2)在棱上确定一点,使、、、四点共面,并求此时的长;
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.
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