Question

12．设自然数n≥3，证明：可将一个正三角形分成n个等腰三角形．

Answer 1

分析 设D，E，F是正三角形ABC的边BC，CA，AB上的中点，O为中心．1．连AO，BO，CO，则将正三角形ABC分为三个相等的顶角为120°的等腰三角形；
2．连AD，DE，DF．则△ADE，△ADF是相等的顶角为120°的等腰三角形△BDF，△CDE是相等的正三角形；这样将正三角形ABC分为四个等腰三角形；
3．在AD上取一点H，使DH=$\frac{1}{2}BC$，则△BHC是等腰直角三角形，分别在CA，AB上取一点P与Q，使∠APH=∠AQH=30°．则△APH，△AQH是相等的顶角为120°的等腰三角形，△PCH，△QBH是相等的顶角为150°的等腰三角形，这样将正三角形ABC分为五个等腰三角形；
4．在第三种情况下，我们只需分割等腰直角三角形BHC，那可得出所有分割．

解答 解：设D，E，F是正三角形ABC的边BC，CA，AB上的中点，O为中心．

1．连AO，BO，CO，则将正三角形ABC分为三个相等的顶角为120°的等腰三角形；
2．连AD，DE，DF．则△ADE，△ADF是相等的顶角为120°的等腰三角形△BDF，△CDE是相等的正三角形；
这样将正三角形ABC分为四个等腰三角形；
3．在AD上取一点H，使DH=$\frac{1}{2}BC$，则△BHC是等腰直角三角形，分别在CA，AB上取一点
P与Q，使∠APH=∠AQH=30°．则
△APH，△AQH是相等的顶角为120°的等腰三角形，
△PCH，△QBH是相等的顶角为150°的等腰三角形，
这样将正三角形ABC分为五个等腰三角形；
4．在第三种情况下，我们只需分割等腰直角三角形BHC，那可得出所有分割．下面利用数学归纳法证明：只需分割等腰直角三角形BDH，那可得出所有分割．
（1）当n=1时，△BDH是等腰直角三角形，取BH的中点M₁，连接DM₁，则Rt△BDM₁，Rt△DHM₁都是等腰直角三角形．即由一个等腰直角三角形可以分割成两个等腰直角三角形．
（2）假设由n个等腰直角三角形可以分割成n+1个等腰直角三角形．
下面证明：由n+1个等腰直角三角形可以分割成n+2个等腰直角三角形，只需将其中的一个等腰直角三角形分割成两个等腰直角三角形即可，这个由（1）成立．
综上可知：上述结论成立．
因此可将一个正三角形分成n个等腰三角形．

点评 本题考查了将一个正三角形分成n个等腰三角形的问题、正三角形的性质、等腰直角三角形的性质、首项归纳法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．