Question

4．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥C₁D₁，AB₁⊥BC，且AA₁=AB．
（1）求证：AB∥平面A₁DC；
（2）求证：平面AB₁B⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析 （1）由四棱柱的性质，可得CD∥C₁D₁，再由公理四可得AB∥CD，运用线面平行的判定定理即可得到证明；
（2）运用菱形的对角线垂直和线面垂直和面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：（1）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面CDD₁C₁为平行四边形，
即有CD∥C₁D₁，又AB∥C₁D₁，
即有AB∥CD，
AB?平面A₁DC，CD?平面A₁DC，
即有AB∥平面A₁DC；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面ABB₁A₁为平行四边形，
又AA₁=AB，则ABB₁A₁为菱形，
即有AB₁⊥A₁B，
又AB₁⊥BC，A₁B∩BC=B，
即有AB₁⊥平面A₁BC，
由于AB₁?平面AB₁B，
故平面AB₁B⊥平面A₁BC．

点评 本题考查线面平行的判定定理的运用和面面垂直的判定定理的运用，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．