Question

13．已知O、A、B、C、D、F、F、G、H为空间9个点（如图），并且$\overrightarrow{OE}$=k$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OF}$=k$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OH}$=k$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EH}$+m$\overrightarrow{EF}$．求证：
（1）A，B，C，D四点共面；
（2）$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{EG}$；
（3）$\overrightarrow{OG}$=k$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+m$\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$是共面向量，再由$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$有公共点A，能证明A，B，C，D四点共面．
（2）由已知利用向量加法公式能推导出$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}$=k$\overrightarrow{AC}$，由此能证明$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{EG}$．
（3）由$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{EG}-\overrightarrow{EO}$=$k\overrightarrow{AC}-k\overrightarrow{AO}$，能证明$\overrightarrow{OG}=k\overrightarrow{OC}$．

解答 证明：（1）∵$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+m$\overrightarrow{AB}$，
∴由共面向量基本定理得$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$是共面向量，
∵$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AB}$有公共点A，
∴A，B，C，D四点共面．
（2）∵$\overrightarrow{EG}$=$\overrightarrow{EH}+m\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OE}+m（\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}）$
=$k（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{OA}）+km（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$
=$k\overrightarrow{AD}+km\overrightarrow{AB}$
=k（$\overrightarrow{AD}+m\overrightarrow{AB}$）
=k$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{EG}$．
（3）由（1）知$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{EG}-\overrightarrow{EO}$=$k\overrightarrow{AC}-k\overrightarrow{AO}$
=$k（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}）$=$k\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OG}=k\overrightarrow{OC}$．

点评 判断两个向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{b}≠0$）共线，只需判断$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}$（λ为非零实数）是否成立，若成立则说明共线，若不成立则说明不共线．