Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（2，$\sqrt{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程：
（2）若直线L与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点N（1，1），求直线L的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，两式相减并且利用中点坐标公式与斜率计算公式可得$\frac{2}{8}+\frac{2k}{4}$=0，解得k即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=c²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{8}+\frac{{y}_{1}^{2}}{4}=1$，$\frac{{x}_{2}^{2}}{8}+\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$=1，
两式相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
可得$\frac{2}{8}+\frac{2k}{4}$=0，解得k=$-\frac{1}{2}$．
∴直线L的方程为y-1=$-\frac{1}{2}$（x-1），
化为：x+2y-3=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、点斜式、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．