Question

16．已知点C在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，以C为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F，若圆C与y轴相切，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 如图所示，把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y_C，根据以C为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F，圆C与y轴相切，可得c=y_C，化简解出即可得出．

解答 解：如图所示，
把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
解得y_C=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵以C为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F，圆C与y轴相切，
∴c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
化为ac=b²=a²-c²，
∴e²+e-1=0，0＜e＜1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．