Question

18．在直角坐标系xOy中，点P（1，0），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为：ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）直线L过点P交曲线C于A，B两点，且满足|PA|•|PB|=$\frac{6}{5}$，求直线L的方程．

Answer 1

分析 （1）曲线C的方程为：ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，即ρ²+3（ρsinθ）²=4，进而可得曲线C的直角坐标方程；
（2）先设直线方程为是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，θ为参数，然后代入椭圆方程得出t₁•t₂=-$\frac{3}{3si{n}^{2}θ+1}$＜0，再根据|PA|•|PB|=-t₁•t₂，求出θ的值即可求出直线方程．

解答 解：（1）曲线C的方程为：ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$，即$ρ\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}=2$，
即$\sqrt{{ρ}^{2}+3（ρsi{n}^{\;}{θ）}^{2}}=2$，
即ρ²+3（ρsinθ）²=4，
化为直角坐标方程为：x²+y²+3y²=4，
即x²+4y²=4，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，θ为参数，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：（3sin²θ+1）•t²+2t•cosθ-3=0
∵t₁•t₂=-$\frac{3}{3si{n}^{2}θ+1}$＜0
∴|PA|•|PB|=-t₁•t₂⇒$\frac{3}{3si{n}^{2}θ+1}$=$\frac{6}{5}$⇒sin²θ=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$，
所求的直线l的方程是 x+y+1=0或x-y-1=0．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，设直线l的方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t•cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$，θ为参数，可以是问题简单化，属于中档题