Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
（3）设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），

∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，

又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，

∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，

∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．

（2）

解：由题意得 ， 设 ，则圆心 到直线 的距离 ,

则 ， ，即 ，

解得 或 ，即 ： 或

（3）

解： ，即 ，即 ， ，

又 ,即 ，解得 ，

对于任意 ，欲使 ，

此时 ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为 ，

必然与圆交于 两点，此时 ，即 ，

因此对于任意 ，均满足题意，

综上

【解析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．
（2）由题意得OA=2 ，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d= ，由此能求出直线l的方程．
（3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，对于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为 ，由此能求出实数t的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆的一般方程(圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显)．