Question

已知椭圆E的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点（1，

3

2

）在椭圆E上．
（1）求椭圆E的方程
（2）若椭圆E上存在一点 P，使∠F₁PF₂=30°，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）首先设出椭圆的标准方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，然后根据题意，求出a、b满足的2个关系式，解方程即可．
（2）由点P在椭圆上，知|PF₁|+|PF₂|=2a=4．由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4，由此得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=12从而得到 S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=6-3

3

．

解答：解：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵c=1，
∴a²-b²=1①，
∵点（1，

3

2

）在椭圆E上，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1②，
由①、②得：a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由题意知，a=2，b=

3

、∴c=1
又∵点P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4②
把①两边平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=12，
∴|PF₁|•|PF₂|=12（2-

3

），
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=6-3

3

、

点评：本题应用了求椭圆标准方程的常规做法：待定系数法，熟练掌握椭圆的几何性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧；对于解三角形，利用边和角求得问题的答案．