Question

（本题共3小题，满分18分。第1小题满分4分，第2小题满分７分，第3小题７分）

 

对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数．

① 对任意的，总有；

② 当时，总有成立．

已知函数与是定义在上的函数．

（1）试问函数是否为函数？并说明理由；

（2）若函数是函数，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使方程恰有两解？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）当时，总有满足①……………………………1分

当时，

满足②………3分

所以函数为函数；………………………………………………………4分

（2）因为函数是函数，根据①有，……………6分

根据②有

…………………………………………………7分

因为，

所以，，其中和不能同时取到，

于是，……………………9分

所以，即，……………10分

于是…………………………………………………………………………11分

另解：因为函数是函数，根据①有，…………6分

根据②有

………………………………8分

取得…………………………………………………………10分

于是…………………………………………………………………………11分

（3）【理科】根据（2）知，原方程可以化为，……………12分

由，……………………………………………………14分

令，则，………………………………………15分

由图形可知：当时，方程有一解；…………………………………16分

当时，方程无解；…………………………17分

因此，方程不存在两解。………………………………………………………18分

【文科】根据（2）知，原方程可以化为，…………………12分

由，……………………………………………………14分

令，…………………………………………………………………15分

则，……………………………………………16分

因此，当时，方程有解。……………………………………………18分

 

【解析】略