Question

（本小题满分分）已知函数（，是不同时为零的常数）.

（1）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：函数在内至少存在一个零点．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）时易证结论；时，利用函数的零点存在定理可以证明结论成立.

【解析】

试题分析：（1）当时，，

由不等式即对任意恒成立，

得，解得.                                     ……5分

（2）证明：当时，因为，不同时为零，所以，

所以的零点为，                               ……6分

当时，二次函数的对称轴方程为，    ……7分

①若即时，

，

∴函数在内至少存在一个零点．                            ……10分

②若即时，

，

∴函数在内至少存在一个零点．                       ……13分

综上得：函数在内至少存在一个零点．                    ……14分

考点：本小题主要考查二次函数恒成立问题和函数零点存在定理的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用.

点评：恒成立问题，一般转化为最值问题解决，而函数的零点存在定理能确定一定存在零点，但是确定不了存在几个零点.