Question

已知函数f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有

6

个．

Answer 1

分析：先在同一个坐标系中，分别作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示．方程g[f（x）]-a=0，即方程g[f（x）]=a，
令f（x）=m，则函数y=f（x）的图象可知，方程f（x）=m最多有三个实数根，且当-3＜m＜1时，方程f（x）=m有三个实数根，另外，由函数y=g（x）的图象可知，方程g（n）=a最多有两个实数根．取a=

10

9

，从而g[f（x）]=a的实数根最多有 6个．

解答：解：在同一个坐标系中，分别作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示．
方程g[f（x）]-a=0，即方程g[f（x）]=a，
令f（x）=m，则函数y=f（x）的图象可知，方程f（x）=m最多有三个实数根，且当-3＜m＜1时，方程f（x）=m有三个实数根，
另外，由函数y=g（x）的图象可知，方程g（n）=a最多有两个实数根．
取a=

10

9

，令g（n）=

10

9

，则函数y=g（x）的图象可知，方程g（n）=

10

9

有两个实数根，且此两个实数根均在区间（0，1）上，
从而g[f（x）]=

10

9

有六个实数根，且是最多的．
故答案为：6．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想．其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．