Question

已知定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)，动点P（x，y）满足：||AP|-|BP||=2；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线mx-y+1=0与动点P的轨迹只有一个交点，求实数m的值．

Answer 1

（1）∵定点A(-

3

，0)，B(

3

，0)，动点P（x，y）满足：||AP|-|BP||=2，
∴||AP|-|BP||=2＜|AB|=2

3

，
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线，且a=1，c=

3

，
∴b=

c2-a2

=

2

，
∴动点P的轨迹方程是x2-

y2

2

=1；
（2）由mx-y+1=0可得y=mx+1，
代入x2-

y2

2

=1，可得x2-

(mx+1)2

2

=1，
即（2-m²）x²-2mx-3=0．
①2-m²=0，即m=±

2

时，方程只有一个解，满足题意；
②2-m²≠0时，△=4m²+12（2-m²）=0，解得m=±

3

，
综上所述，m=m=±

2

或m=±

3

．