Question

【题目】设函数 (为自然对数的底数），.

（1）证明：当时， 没有零点；

（2）若当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由，令， ，把没有零点，可以看作函数与的图象无交点，求得直线与曲线无交点，即可得到结论.

（2）由题意，分离参数得，设出新函数，得出函数的单调性，求解函数的最小值，即可求解的取值范围.

试题解析:

（1）解法一：∵，∴.

令,解得；令，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴.

当时， ，

∴的图象恒在轴上方，∴没有零点.

解法二：由得，令， ，

则没有零点，可以看作函数与的图象无交点，

设直线切于点，则，解得，

∴，代入得，又，

∴直线与曲线无交点，即没有零点.

（2）当时， ，即，

∴，即.

令，则.

当时， 恒成立，

令，解得；令，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴.∴的取值范围是.