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    （2008•奉贤区模拟）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
    .
    x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
    ．如：A=
    .
    2\～(-1)(3)(-2)(1)
    ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
    （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
    （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
    1
    1-ak
    ，k∈N*    ，bn=
    .
    2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
    （n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
    （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
    .
    t\～(
    C
    1
    n
    )(
    C
    2
    n
    )(
    C
    3
    n
    )…(
    C
    n-1
    n
    )(
    C
    n
    n
    )
    ，求
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    ．
    分析：（1）先将m=（1-2x）（1+3x2）展开，再根据定义，将m表示成x进制的简记形式．
    （2）由题意，知{an}是周期为3的数列．假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立，则由定义可得p=
    2
    7
    ，q=-
    2
    7
    ．
    （3）先求dn=
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    t+
    C
    3
    n
    t2+
    C
    4
    n
    t3…+
    C
    n
    n
    tn-1=
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn
    t
    =
    [
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn]-1
    t
    =
    (1+t)n-1
    t
    ，再求极限．
    解答：解：（1）m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3（1分）
    则m=
    .
    x\～(1)(-2)(3)(-6)
    （3分）
    （2）a2=-1，a3=
    1
    2
    ，a4=2，a5=-1，a6=
    1
    2

    ∵an+1=
    1
    1-an
    ∴an+2=
    1
    1-an+1
    =
    1
    1-
    1
    1-an
    =
    1-an
    -an

    ∴an+3=
    1
    1-an+2
    =
    1
    1+
    1-an
    an
    =an（n∈N*），知{an}是周期为3的数列     （6分）
    假设存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立，则：bn=
    .
    2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

    =[2+(-1)×2+
    1
    2
    ×22]+[2×23+(-1)×24+
    1
    2
    ×25]    +…+[2×23n-3+(-1)×23n-2+
    1
    2
    ×23n-1]    =[2+(-1)×2+
    1
    2
    ×22]×(1+23+26+…+23n-3)    =2×
    1-8n
    1-8
    =
    2
    7
    ×8n-
    2
    7

    ∴p=
    2
    7
    ，q=-
    2
    7
    ．
    即存在实常数p=
    2
    7
    ，q=-
    2
    7
    ，对于任意的n∈N*，bn=
    2
    7
    •8n-
    2
    7
    总成立    （10分）
    （3）dn=
    C
    1
    n
    +
    C
    2
    n
    t+
    C
    3
    n
    t2+
    C
    4
    n
    t3…+
    C
    n
    n
    tn-1=
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn
    t
    =
    [
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    t+
    C
    2
    n
    t2+
    C
    3
    n
    t3+…+
    C
    n
    n
    tn]-1
    t
    =
    (1+t)n-1
    t
    （14分）
    ∴
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    =
    lim
    n→∞
    (1+t)n-1
    (1+t)n+1-1
    =
    1
    1+t
    |1+t＞1
    1|1+t＜1
    ，即
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    =
    1
    1+t
    ，t＞0
    1，-1＜t＜0
    （18分）
    点评：本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．
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    x+y
    2
    ∈D    均满足f(
    x+y
    2
    )≥
    1
    2
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    （1）若定义在（0，+∞）上的函数f（x）∈M，试比较f（3）+f（5）与2f（4）大小．
    （2）设函数g（x）=-x2，求证：g（x）∈M．
    （3）已知函数f（x）=log2x∈M．试利用此结论解决下列问题：若实数m、n满足2m+2n=1，求m+n的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•奉贤区一模）我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
    .
    x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
    ．如：A=
    .
    2\～(-1)(3)(-2)(1)
    ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
    （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），试将m表示成x进制的简记形式．
    （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
    1
    1-ak
    ，k∈N*    ，bn=
    .
    2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
    （n∈N*）．求证：bn=
    2
    7
    •8n-
    2
    7
    ．
    （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
    .
    t\～(
    C
    1
    n
    )(
    C
    2
    n
    )(
    C
    3
    n
    )…(
    C
    n-1
    n
    )(
    C
    n
    n
    )
    ，求
    lim
    n→∞
    dn
    dn+1
    ．

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