Question

5．已知函数f（x）=log_a（${\sqrt{{x^2}+1}$+x）（其中a＞1）．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$（其中m，n∈R，且m+n≠0）的正负，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）函数y=f（x）是奇函数，理由如下：结合对数的运算性质和函数奇偶性的定义，可证明；
（2）$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$，结合函数的单调性和奇偶性，可进行判断．

解答 解：（1）函数y=f（x）是奇函数，理由如下：
因为$\sqrt{{x^2}+1}+x＞|x|+x≥0$，所以函数y=f（x）的定义域为R．…（2分）
又因为$f（x）+f（{-x}）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）+{log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}-x}）={log_a}（{{x^2}+1-{x^2}}）=0$，
所以函数y=f（x）是奇函数．…（5分）
（2）$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$，理由如下：
任取0≤x₁＜x₂，设${u_1}=\sqrt{x_1^2+1}+{x_1}，{u_2}=\sqrt{x_2^2+1}+{x_2}$，
则${u_1}-{u_2}=\frac{x_1^2-x_2^2}{{\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}}}+（{{x_1}-{x_2}}）＜0$，故0＜u₁＜u₂，从而$0＜\frac{u_1}{u_2}＜1$．…（7分）
因为a＞1，所以$f（{x_1}）-f（{x_2}）={log_a}\frac{u_1}{u_2}＜0$，
故$f（x）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$在[0，+∞）上单调递增．…（9分）
又因为$f（x）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$为奇函数，
所以f（-n）=-f（n），且$f（x）={log_a}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）$在（-∞，+∞）上单调递增．…（10分）
所以m+n=m-（-n）与f（m）+f（n）=f（m）-f（-n）同号，即$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＞0$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，抽象函数的应用，难度中档．