Question

是否存在这样的k值，使函数f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增．

Answer 1

分析：求出导函数f′（x），根据f（x）在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增，可以确定f′（2）=0，从而求出k=

1

2

或k=-

3

8

，再分别对它们进行验证是否符合题意，经过验证，判断出k=

1

2

时符合题意，k=-

3

8

时不合题意，最后确定存在k的值，使函数f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增．

解答：解：∵f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

，
∴f′（x）=4k²x³-2x²-2kx+2，
∵函数f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
由函数f′（x）的连续性可知，f′（2）=0，
∴f′（2）=32k²-4k-6=0，解得k=

1

2

或k=-

3

8

，
下面对k=

1

2

或k=-

3

8

分别进行验证：
①若k=

1

2

时，f′（x）=x³-2x²-x+2=（x+1）（x-1）（x-2），
当1＜x＜2，f′（x）＜0，
当x＞2，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增，
∴k=

1

2

符合题意；
②若k=-

3

8

时，f′（x）=

9

16

x3-2x2+

3

4

x+2=

9

16

(x-

7- 193

9

)(x-2)(x-

7+ 193

9

)，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上递增，
∴k=-

3

8

不合题意．
综合①②，存在k=

1

2

，满足题意．
∴存在k=

1

2

，使函数f（x）=k²x⁴-

2

3

x³-kx²+2x+

1

2

在（1，2）上递减，在（2，-∞）上递增．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．本题的关键是要注意对k的值进行验证，同时也是易错点．属于中档题．