Question

是否存在这样的k值，使函数f(x)=k²x⁴x³-kx²+2x+在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增?

Answer 1

解:f′(x)=4k²x³-2x²-2kx+2,由题意，当x∈(1,2)时，f′(x)＜0.

当x∈(2,+∞)时，f′(x)＞0.由函数f′(x)的连续性可知f′(2)=0,

即32k²-4k-6=0,得k=或k=.验证：当k=时，f′(x)=x³-2x²-x+2=(x+1)(x-1)(x-2).

若1＜x＜2,f′(x)＜0,若x＞2,f′(x)＞0,符合题意.

当k=时，f′(x)=x³-2x²+x+2=(x)(x-2)(x).

显然不合题意.综上所述，存在k=，满足题意.