Question

20．已知椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12+m}=1的离心率e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$实数m为（　　）

• A． -4或16
• B． 20
• C． -4或20
• D． -4

Answer 1

分析 根据题意，分椭圆的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，每种情况下利用公式e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$求出m的值，综合可得答案．

解答 解：根据题意，分两种情况讨论：
若椭圆的焦点在x轴上，必有16＞12+m，即m＜4，
若其离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{12+m}{16}$=$\frac{1}{2}$，
解可得m=-4，
若椭圆的焦点在y轴上，必有16＜12+m，即m＞-4，
若其离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{16}{12+m}$=$\frac{1}{2}$，
解可得m=20，
故m=-4或20；
故选：C．

点评 本题考查椭圆的几何性质，注意分析椭圆的焦点位置．