Question

18．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，且AC=AA₁．
（1）求证：BC₁⊥平面AC B₁；
（2）求二面角B-AB₁-C的大小．

Answer 1

分析 （1）通过证明C₁B⊥B₁C，AC⊥C₁B，利用直线与平面垂直的判定定理证明C₁B⊥平面AB₁C．
（2）过B作BG⊥AB₁，G为垂足，连接GO，说明∠BGO为所求二面角的平面角．设AC=2，通过解三角形求解二面角的大小；
另解：设D为AB中点，连接CD，过点D作DE⊥AB₁，E为垂足，连接CE，说明∠DEC即为二面角B-AB₁-C的平面角．设AC=2，通过解三角形以及三角形相似，求解二面角B-AB₁-C的大小．

解答 （1）证明：由题设知B B₁C₁C 为正方形，所以C₁B⊥B₁C，
又AC⊥平面C₁B，∴AC⊥C₁B，∵B₁C∩AC=C
∴C₁B⊥平面AB₁C，…（6分）
（2）解：由（1）知点O为点B在平面AB₁C的射影
过B作BG⊥AB₁，G为垂足，连接GO，则∠BGO
即为所求二面角的平面角．设AC=2
在Rt△AB₁B中，B₁B=2，AB=2$\sqrt{2}$，AB₁=2$\sqrt{3}$
∴BG=$\frac{2×2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，由（1）知BO=$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BGO中，sin∠BGO=$\frac{BO}{BG}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BGO=60°…（12分）
另解：设D为AB中点，连接CD，则CD⊥AB，∴CD⊥平面A₁B₁BA，
∴点D是点C在平面A₁B₁BA的射影．
过点D作DE⊥AB₁，E为垂足，连接CE，则∠DEC即为二面角B-AB₁-C的平面角．
设AC=2，则CD=AD=$\sqrt{2}$，∴AB₁=2$\sqrt{3}$，
∵Rt△ADE∽Rt△AB₁B，∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{{B}_{1}B}{{AB}_{1}}$，
∴BE=$\sqrt{2}×\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan$∠DEC=\frac{DC}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∴∠BGO=60°．
∴二面角B-AB₁-C的大小为60°．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．