Question

已知1+2+3+…+n-

1

2

n2+

1

2

n，1²+2²+3²+…+n²=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n4+

1

2

n3+

1

4

n2，1⁴+2⁴+3⁴+…+n⁴=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n…，1^k+2^k+3^k+…+n^k=a_k+1n^k+1+a_kn^k+a_k-1n^k-1+a_k-2n^k-2+…a₁n+a₀．
可以猜想，当k≥2（k∈N^*）时，a_k+1=

1

k+1

，ak=

1

2

，ak-1=

6+

(k-2)(7-k)

2

．

Answer 1

分析：先计算出当k=2时，当k=3时，当k=4时，a _k-1的值，再考查三个数：

1

6

，

1

4

，

1

3

，化成：

1

6

，

2

8

，

3

9

，其分子是自然数的排列，分母是：6，6+2，6+3，…照此进行归纳得：a _k-1=6+

(k-2)(7-k)

2

．

解答：解：当k=2时，a₂₊₁=

1

2+1

，a2=

1

2

，a2-1=

1

6

，
当k=3时，a₃₊₁=

1

3+1

，a3=

1

2

，a3-1=

1

4

，
当k=4时，a₄₊₁=

1

4+1

，a4=

1

2

，a4-1=

1

3

，
考察三个数：

1

6

，

1

4

，

1

3

，化成：

1

6

，

2

8

，

3

9

，
其分子是自然数的排列，分母是：6，6+2，6+3，…
照此进行归纳得：a _k-1=6+

(k-2)(7-k)

2

．
故答案为：6+

(k-2)(7-k)

2

．

点评：本小题主要考查归纳推理、数列的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．