Question

（2012•福建）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上的一点．
（1）求三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）当A₁M+MC取得最小值时，求证：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，A到平面CDD₁C₁的距离等于AD=1，易求S△MCC1=1，从而可求VA-MCC1；
（2）将侧面CDD₁C₁绕DD₁逆时针转90°展开，与侧面ADD₁A₁共面，当A₁，M，C′共线时，A₁M+MC取得最小值．易证CM⊥平面B₁C₁M，从而CM⊥B₁M，同理可证，B₁M⊥AM，
问题得到解决．

解答：解：（1）由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁知，AD⊥平面CDD₁C₁，
∴点A到平面CDD₁C₁的距离等于AD=1，
又S△MCC1=

1

2

CC₁×CD=

1

2

×2×1=1，
∴VA-MCC1=

1

3

AD•S△MCC1=

1

3

．
（2）将侧面CDD₁C₁绕DD₁逆时针转90°展开，与侧面ADD₁A₁共面，

当A₁，M，C′共线时，A₁M+MC取得最小值．
由AD=CD=1，AA₁=2，得M为DD₁的中点．连接C₁M，在△C₁MC中，C₁M=

2

，MC=

2

，C₁C=2，
∴C1C2=C1M2+MC²，得∠CMC₁=90°，即CM⊥C₁M，又B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，
∴B₁C₁⊥CM，又B₁C₁∩C₁M=C₁，
∴CM⊥平面B₁C₁M，
∴CM⊥B₁M，同理可证，B₁M⊥AM，又AM∩MC=M，
∴B₁M⊥平面MAC

点评：本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的体积等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．