Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f（），且当x＜0时，f（x）＞0；
（1）验证函数f（x）=ln是否满足这些条件；
（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明；
（3）若f（-）=1，试解方程f（x）=-．

Answer 1

解：（1）由＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1），
又f（x）+f（y）=ln+ln=ln（•）
=ln=ln=f（）
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0
∴＞1
∴ln＞0
故f（x）=ln满足这些条件．
（2）这样的函数是奇函数．
令x=y=0，
∴f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0
令y=-x，
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
这样的函数是减函数．
∵f（x）-f（y）=f（x）-f（y）=f（）
当-1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f（）＞0，即f（x）-f（y）＞0
∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）∵f（-）=1
∴f（）=-1
原方程即为2f（x）=-1
即f（x）+f（x）=f（）=f（）
∴f（x）在（-1，1）上是减函数
∴=
∴x²-4x+1=0
解得x=2
又∵x∈（-1，1）
∴x=2-
分析：（1）根据函数的解析式，求出函数的定义域满足条件，进而根据对数的运算性质，计算f（x）+f（y）与f（）并进行比较，根据对数函数的性质判断当x＜0时，f（x）的符号，可得答案．
（2）令x=y=0，可求f（0）的值，令y=-x，结合函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性，进而根据f（x）-f（y）=f（x）-f（y）及当x＜0时，f（x）＞0，结合函数单调性的定义得到其单调性
（3）根据（2）中函数的奇偶性可将f（-）=1化为f（）=-1，进而根据f（x）+f（y）=f（），将抽象不等式具体化，可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，及对数函数的图象和性质，其中熟练掌握抽象函数的处理方式，将抽象问题具体化是解答的关键．