Question

【题目】已知函数f（x）= x2+ax+1（a∈R）． （Ⅰ）当a= 时，求不等式f（x）＜3的解集；
（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣ a2﹣1＞0的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a= 时，不等式f（x）＜3， 即为 x2+ x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，
解得﹣ ＜x＜1，
则原不等式的解集为（﹣ ，1）；
（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，
即有 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，
即为﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，
由y= x+ 的导数为y′= ﹣ ，
可得函数y在（0， ）递减，（ ，2）递增，
则y= x+ 的最小值为2 = ，
即有﹣a＜ ，解得a＞﹣ ；
（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，
即为3x2+2ax﹣a2＞0，
即（x+a）（3x﹣a）＞0，
当a=0时，即为x2＞0，解集为{x|x≠0}；
当a＞0时， ＞﹣a，解集为{x|x＞ 或x＜﹣a}；
当a＜0时， ＜﹣a，解集为{x|x＜ 或x＞﹣a}．
【解析】（Ⅰ）化简为二次不等式的一般式，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得 x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为﹣a＜ x+ 在0＜x＜2恒成立，求出y= x+ 的导数，单调区间，可得最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）f（x）﹣ a2﹣1＞0，即为3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，对a讨论，a=0，a＞0，a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．