Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M、N分别是A₁C₁、BC₁的中点.

（I）求证：BC₁⊥平面A₁B₁C；
（II）求证：MN∥平面A₁ABB₁；
（III）求多面体M—BC₁B₁的体积.

Answer 1

（I）（II）见解析（Ⅲ）

（I）∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，
∴B₁B⊥面A₁B₁C₁.     1分
∴B₁B⊥A₁B₁.
又∵A₁B₁⊥B₁C₁，
∴A₁B₁⊥面BCC­₁B_­1.
∴A₁B₁⊥BC₁，
连结B₁C，∵矩形BCC₁B₁中，BB₁=CB=2，
∴BC₁⊥B₁C，
∴B₁C⊥平面A₁B₁C.    5分
（II）连结A₁B，由M、N分别为A₁C₁、BC₁的中点可得，
MN∥A₁B
又∵A₁B₁平面A₁ABB₁，MN平面A₁ABB₁，
∴MN∥平面A₁ABB₁.     10分
（III）取C₁B₁中点H，连结MH、MB₁、MB，
又∵M是A₁C₁中点，
∴MH∥A₁B₁，
又∵A₁B₁⊥平面BBC₁B₁，
∴MH⊥平面BCC₁B₁，
∴三棱锥M—BC₁B₁以MH为高，△BC₁B₁为底面，
三棱锥M—BC₁B₁的体积     14分