Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-a_n-7，n∈N^*
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据当“n≥2时，a_n=S_n-S_n-1和n=1时，a₁=S₁”，求出2a_n=a_n-1+1，变形得a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），由等比数列的定义得{a_n-1}是等比数列；
（2）由（1）和等比数列的通项公式得：a_n-1=-4×(

1

2

)n-1，再求出a_n，代入S_n=n-a_n-7化简，建立数列的相邻两项的不等式求解，再研究其单调性即可得出S_n取得最小值及对应的n的值．

解答： 解：（1）由题意得，S_n=n-a_n-7，
令n=1，得a₁=-3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（n-a_n-7）-（n-1-a_n-1-7）=-a_n+a_n-1+1，
则2a_n=a_n-1+1，所以a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
又a₁-1=-4≠0，
所以{a_n-1}是等比数列；
（2）由（1）得，a_n-1=-4×(

1

2

)n-1，则a_n=1-4×(

1

2

)n-1，
从而S_n=n-a_n-7=n+4×(

1

2

)n-1-8，n∈N^*
由S_n＜S_n+1得，(

1

2

)n＜

1

4

，解得n＞2，
当n≥3时，数列{S_n}单调递增，即S₃＜S₄＜S₅＜S₆＜…，
同理可得，当n≤2时，数列{S_n}单调递减，即S₂＜S₁，
故当n=2或3时，S_n取得最小值-4．

点评：本题考查等比关系的确定，由a_n与S_n的关系式的应用，解注意对数列的函数的特性的研究方法：即研究相邻两项大小再确定其单调性，从而求了最值，难度较大．