Question

【题目】线段AB为圆的一条直径，其端点A，B在抛物线 上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11.

（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；

（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用抛物线的定义可求出，再利用点差法求出直线的斜率，结合直线过圆心，利用点斜式即可求出直线的方程：

（2）不妨设，，，，，，直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出，再利用导数的几何意义求出抛物线在，的切线方程，把点，代入切线的方程得，同理可得：，故， 为一元二次方程的两根，再次利用韦达定理得，，所以点到直线的距离，所以，故当时，的面积取得最小值，最小值为27.

解：（1）设，抛物线的焦点为F，

则，

又，

抛物线C的方程为：，

由，两式相减得：，

直线AB的斜率为﹣1，

圆M方程：化为坐标方程为：

，

直线AB过圆心，

直线AB的方程为：，即；

（2）不妨设，

直线l的方程为，

联立方程，消去y得：，

，

，

抛物线C的方程为，

，

抛物线C在的切线方程为：，

又点在切线PN上，

则，即，

同理可得：，

故为一元二次方程的两根，

，又，

，

点N到直线PQ的距离

，

，

当时，的面积取得最小值，最小值为27，

面积的取值范围为：.