精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,设bn=an•1gan,问是否存在a,对任意自然数n∈N*,数列{bn}中的每一项总小于它后面所有的项?若存在,求出a的取值范围;若不存在,则说明理由.
∵{an}是首项为a,公比为a的等比数列,
an=an,bn=an•1gan=nanlga,
bn+1=(n+1)an+1 lga
bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga
(1)当a>1时,lga>0,an>0,(n+1)a-n>(n+1)-n>0,
bnbn+1(n∈N*)
(2)当0<a<1时,lga<0,
当且仅当(n+1)a-n<0(n∈N*)时,
bnbn+1(n∈N*)
即当a<
n
n+1
(n∈N*)时,bn<bn+1(n∈N*),
而当n∈N*时,n+1≤2n,即
n
n+1
1
2

∴只要取a<
1
2

综上所述,当a的取值为(0,
1
2
)∪(1,+∞)时,
使得数列{bn}中的任一项都小于它后面各项.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>0且a≠1,设p:函数y=ax在R上单调递增,q:设函数y=
2x-2a,(x≥2a)
2a,(x<2a)
,函数y≥1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•普陀区二模)已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>0且a≠1,则使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解时的k的取值范围为
(-∞,-1)∪(0,1)
(-∞,-1)∪(0,1)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)试讨论函数F(x)在定义域D上的单调性;
(3)若关于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在区间[0,1)内仅有一解,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:普陀区二模 题型:解答题

已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
1
1-x
,记F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函数F(x)的定义域D及其零点;
(2)若关于x的方程F(x)-m=0在区间[0,1)内有解,求实数m的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案