Question

    如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

    (1)求证：点M为边BC的中点；

    (2)求点C到平面AMC₁的距离；

    (3)求二面角M—AC₁—C的大小.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，     ∴AM⊥C1M，且AM＝C1M，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥底面ABC.     ∴C1M在底面内的射影为CM，AM⊥CM.     ∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点.     (2)解：过点C作CH⊥MC1于H.     由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM，     ∴AM⊥平面C1CM.     ∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM.     由(1)知，AM＝C1M＝，CM＝a且CC1⊥BC.     ∴CC1＝.     ∴CH＝.     ∴点C到平面AMC1的距离为.     (3)解：过点C作CI⊥AC1于I，连HI，     ∵CH⊥平面C1AM，∴HI为CI在平面C1AM内的射影，     ∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角.     在直角三角形ACC1中，     CI=，     sinCIH=，     ∴∠CIH=45°，∴二面角M—AC1—C的大小为45°.