Question

（12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面垂直，是线段EF的中点。

   （Ⅰ）求证：

   （Ⅱ）求二面角

Answer 1

解析：（方法一）证明：设BD交AC于点O，连接MO，OF

因为四边形ABCD是正方形

所以AC⊥BD，AO=CO

又因为矩形ACEF，EM=FM，

所以MO⊥AO

因为正方形ABCD和矩形ACEF所

在平面垂直

平面ABCD平面ACEF=AC

所以MO⊥平面ABCD

所以AM⊥BD

在,

所以BD=

所以AO=1，

所以四边形OAFM是正方形，所以AM⊥OF

因为              …………………6分

（Ⅱ）设AM、OF相交于Q，过A作AR⊥DF于R，连接QR，因为AM⊥平面BDF，

所以QR⊥DF，则∠ARQ为二面角A―DF―B的平面角…………………9分

Rt△ADF中，AF=1，AD=，所以

Rt△AQR中，QR

所以二面角A―DF―B的余弦值为        ………………………12分

（方法二）以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C―xyz，连接BD则A（，，0），B（0，，0）。

D（，0，0）

F（，，1），M（，，1）

所以

所以

所以所以AM⊥平面BDF…………6分

（Ⅱ）平面ADF的法向量为

平面BDF的法向量………………8分

    ……………………11分

所以二面角A―DF―B的余弦值为。    ……………………12分