Question

已知函数f（x）=4x+

a

x

（a＞0，a∈R），
（1）判断并证明f（x）在（0，

a

2

）上的单调性；
（2）讨论函数g（x）=4x+

a

x

-1（a＞0）在（0，+∞）上的零点的个数．

Answer 1

分析：（1）任取x1，x2∈(0，

a

2

)，设x₁＜x₂，我们构造出f（x₁）-f（x₂）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）令g（x）=4x+

a

x

-1=0，利用（1）得g(x)在(0，

a

2

)上单调递减，同理可得，g(x)在[

a

2

，+∞]上单调递增，再对a进行分类讨论，讨论函数y=g（x）的零点．

解答：解：（1）f（x）在(0，

a

2

)上单调递减
证：任取x1，x2∈(0，

a

2

)，设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=4x1+

a

x1

-4x2-

a

x2

=4(x1-x2)+a•

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(4-

a

x1x2

)
∵x1＜

a

2

，x2＜

a

2

∴x1x2＜ a 4

，
∴

a

x1x2

＞4.
所以f（x）为减函数．
（2）由（1）得g(x)在(0，

a

2

)上单调递减，同理可得，g(x)在[

a

2

，+∞]上单调递增．
故g（x）的最小值为g(

a

2

)=4

a

-1，
∴当4

a

-1＞0，即a＞

1

16

时，无零点；
当a=

1

16

时，有1个零点； 
当0＜a＜

1

16

时，有2个零点．

点评：本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．