Question

（本小题满分12分）

设函数，其中表示不超过的最大整数，如.

 （1）求的值；

（2）若在区间上存在x，使得成立，求实数k的取值范围；

（3）求函数的值域.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（1）因为，所以 ------2分

（2）因为，所以,          -------------------3分

则.

求导得，当时，显然有,

所以在区间上递增,                -------------------4分

即可得在区间上的值域为,

在区间上存在x，使得成立，所以. ---------------6分

（3）由于的表达式关于x与对称，且x>0，不妨设x³1.

当x=1时，=1，则;           ----------------------7分

当x>1时，设x= n+，nÎN^*，0£<1.

则[x]= n，，所以.   -----------------8分

，

在[1，+¥)上是增函数，又，

,

当时，

当时，                  … 10分

故时，的值域为I₁∪I₂∪…∪I_n∪…

设,

则.

,

\当n³2时，a₂= a₃< a₄<…< a_n<…

又b_n单调递减，\ b₂> b₃>…> b_n>…

\[ a₂，b₂)= I₂I₃I₄…I_n…       ----------------------11分

\ I₁∪I₂∪…∪I_n∪… = I₁∪I₂=

综上所述，的值域为. ----------------------12分

考点：函数性质的综合应用；利用导数研究函数的单调性；函数的值域。

点评：我们要注意恒成立问题和存在性问题的区别。恒成立问题：通常采用变量分离法解决恒成立问题， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立；存在性问题：思路1：存在使成立；思路2: 存在使成立。