Question

【题目】记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定义ST=0；若T={t1 ， t2 ， …，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66 ． 现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；
（3）设CU，DU，SC≥SD ， 求证：SC+SC∩D≥2SD ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当 时， ，因此 ，从而 ，

（2）

证明：

（3）

解：设 ， ，则 ， ， ， ，因此原题就等价于证明 ．

由条件 可知 ．

① 若 ，则 ，所以 ．

② 若 ，由 可知 ，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ，

若 ，则由第⑵小题， ，矛盾．

因为 ，所以 ，所以 ，

，即 ．

综上所述， ，因此SC+SC∩D≥2SD．

【解析】（1）根据题意，由ST的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；
（2）根据题意，由ST的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1 ， 由等比数列的前n项和公式计算可得证明；
（3）设A=C（C∩D），B=D（C∩D），则A∩B=，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB ， 分2种情况进行讨论：①、若B=，②、若B≠，可以证明得到SA≥2SB ， 即可得证明
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：．