Question

（2013•石景山区一模）已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知f(A)=

3

2

，a=2，B=

π

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为

3

sin（2x+

π

3

），令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知f(A)=

3

2

，可得 sin（2A+

π

3

）=

1

2

，求得A=

π

4

，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S=

1

2

ab•sinC，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos2x=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+cos2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（Ⅱ）由已知f(A)=

3

2

，可得 sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
因此，2A+

π

3

=

5π

6

，解得A=

π

4

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

6

，…（10分）
由A=

π

4

，由B=

π

3

，可得 sinC=

2 + 6

4

，…（12分）
∴S=

1

2

ab•sinC=

1

2

×2×

6

×

2 + 6

4

=

3+ 3

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性，正弦定理以及根据三角函数的值求角，属于中档题．