Question

（2013•丰台区一模）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（　　）

A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4

B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4

C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4

D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4

Answer 1

分析：由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．

解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得

x＞0 y＞0 x+y=xy

，
由x+y=xy得：x+y=xy≤(

x+y

2

)2=

(x+y)2

4

，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：y=

x

x-1

（x≠1）．
设x₁＞x₂＞1，
则f(x1)-f(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1x2-x1-x2x1+x2

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

．
因为x₁＞x₂＞1，
所以x₂-x₁0，x₂-1＞0．
则

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．
故选C．

点评：本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．