Question

已知函数f(x)(x∈R且x＞0)，对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1时，f(x)＞0恒成立。 （1）求f(1)；
（2）证明方程f(x)=0有且仅有一个实根；
（3）若x∈[1，+∞)时，不等式恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）令x=y=1，∴f(1)=2f(1)，∴f(1)=0；
（2）任取，则，由题意，，
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)-f(y)=f(x)，
∴，∴，
∴函数f(x)在其定义域内为增函数，由（1）和f(1)=0，所以，1为方程f(x)=0的一个实根；
若还存在一个x₀，且x₀＞0，使得，
因为函数f(x)在其定义域内为增函数，必有，故方程f(x)=0有且仅有一个实根；
（3）由（2）知函数f(x)在其定义域内为增函数，
当x∈[1，+∞)时，不等式恒成立，
即恒成立，
即，即在x∈[1，+∞)时恒成立，
∵，
∴a＞-2。