Question

【题目】如图，在多面体中，四边形是菱形，⊥平面且.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)若设与平面所成夹角为，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】

分析：（1）根据已知可得和，由线面垂直判定定理可证平面，再由面面垂直判定定理证得平面⊥平面.

（2）解法一：向量法，设，以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系，求得的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.

解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.

解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.

详解：（1）证明：连结

四边形是菱形，，

⊥平面，平面，

，

，平面，

平面，

平面，平面⊥平面.

（2）解：解法一：设 ，

四边形是菱形，，

、为等边三角形， ，

是的中点， ，

⊥平面，，

在中有，，，

以为原点，作，以的方向分别为轴，轴的正方向，建空间直角坐标系如图所示，则

所以，，

设平面的法向量为，

由 得 设，解得.

设平面的法向量为，

由 得 设，解得.

设二面角的为，则

结合图可知，二面角的余弦值为.

解法二：

∵EB⊥面ABCD，

∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角

在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=

∴EB=DF=1

连接AC交BD于O，连接EO、FO

菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2

矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,∴FO⊥EO

又AC⊥面BEFD, FO面BEFD,∴FO⊥AC,

AC∩EO=O，AC、EO面AEC,∴FO⊥面AEC

又EC面AEC,∴FO⊥EC

过点F做FM⊥EC于M，连OM，

又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO面FMO,∴EC⊥面FMO

OM面FMO,∴EC⊥MO

∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角

AC⊥面BEFD, EO面BEFD，∴AC⊥EO

又O为AC的中点，∴EC=AE=

Rt△OEC中，OC=, EC=,∴OE=,∴OM =

Rt△OFM中，OF=, OM =,∴FM =

∴cos∠FMO=

即二面角A-EC-F的余弦值为

解法三：

连接AC交BD于O，连接EO、FO

菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2

矩形BEFD中，FO=EO= ,EF=2,EO+FO=EF,∴FO⊥EO

又AC⊥面BEFD, FO面BEFD,∴FO⊥AC,

AC∩EO=O，AC、EO面AEC,∴FO⊥面AEC

又∵EB⊥面ABCD，

∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角

在Rt△EAB中，cos∠EAB= 又AB=2,∴AE=

∴EB=DF=1

在Rt△EBC、Rt△FDC中可得FC=EC=

在△EFC中，FC=EC=，EF=2,∴

在△AEC中, AE=EC=,O为AC中点，∴OE⊥OC

在Rt△OEC,OE=, OC=,∴

设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m,

二面角A-EC-F的平面角设为θ，

则cosθ=

即二面角A-EC-F的余弦值为.