Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax+2．
（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；
（Ⅱ）若x≥0时，不等式xe^x+m[f′（x）-a]≥m²x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，即可得证；
（Ⅱ）由xe^x+m[f′（x）-a]≥m²x对x≥0时恒成立，即e^x+mx-m²≥0对x≥0时恒成立，则（e^x+mx-m²）_min≥0，记g（x）=e^x+mx-m²，运用导数，求出单调区间和极值、最值，即可得到m的范围．

解答： （Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x²+a，
即有f（1）=a+

7

3

，f′（1）=1+a，
则切线方程为y-（a+

7

3

）=（1+a）（x-1），
令x=0，得y=

4

3

为定值；　　         
（Ⅱ）解：由xe^x+m[f′（x）-a]≥m²x对x≥0时恒成立，
得xe^x+mx²-m²x≥0对x≥0时恒成立，
即e^x+mx-m²≥0对x≥0时恒成立，
则（e^x+mx-m²）_min≥0，
记g（x）=e^x+mx-m²，
g′（x）=e^x+m，由x≥0，e^x≥1，
若m≥-1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴g(x)min=g(0)=1-m2≥0，
则有-1≤m≤1，
若m＜-1，则当x∈（0，ln（-m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
则当x∈（ln（-m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
∴g(x)min=g(ln(-m))=-m+mln(-m)-m2=-m(1-ln(-m)+m)≥0，
∴1-ln（-m）+m≥0，
令-m=t，则t+lnt-1≤0（t＞1），
φ（t）=t+lnt-1，显然是增函数，
由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜-1，不合题意．
综上，实数m的取值范围是-1≤m≤1．

点评：本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．