Question

已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA₁与PA₂（A₁，A₂为双曲线C的两个顶点）的斜率之积kPA1•kPA2=1，求双曲线C的标准方程．

Answer 1

（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以A₁（-a，0），A₂（a，0），
所以kPA1•kPA2=

1

2+a

•

1

2-a

=

1

4-a2

=1，
解得a²=3．…2分
将a²=3，P（2，1）代入双曲线方程，得

4

3

-

1

b2

=1，解得b²=3．…2分
所以双曲线C的标准方程为

x2

3

-

y2

3

=1．…2分
（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
所以A₁（0，-a），A₂（0，a），
所以kPA1•kPA2=

2

1+a

•

2

1-a

=

4

1-a2

=1，
解得a²=-3（舍去）．…2分
综上，所求双曲线C的标准方程为

x2

3

-

y2

3

=1．